今天周老师突然问我矩阵满不满足欧拉定理的时候突然想到的，往常我都把欧拉定理当作是数论定理，然后想类比矩阵的时候意识到应该放在群上类比。

先写下欧拉定理的形式：

设 为大于 的整数， 且 ，有 。

平日里都是用剩余类然后划分来划分去搞的，现在我们将其放在群里证明一下。

设 表示模 意义下与 互质的元素所构成的乘法集合，显然这是个群。考虑其中的任意一个元素 ，设 ，显然 是 的一个子群。根据陪群中的拉格朗日定理，有 。而根据 的定义，有 ，所以 。而根据欧拉函数定义，有 ，于是 。于是得证了。

而矩阵也完全可以类比地求出一个指数，有趣的是，当模数为质数的时候，这个指数是个 、

参考资料：

  1. 矩阵的整数幂是不是也满足欧拉定理？